Resuelve por sustitución: 5x + 2y = 1, 3x + 3y = 5

1. Introducción

La resolución de ecuaciones es una parte fundamental de las matemáticas. Nos permite encontrar los valores de las variables que satisfacen una ecuación en particular. Una de las técnicas más comunes para resolver sistemas de ecuaciones lineales es la resolución por sustitución. Vamos a explorar en detalle cómo resolver el sistema de ecuaciones 5x + 2y = 1 y 3x + 3y = 5 utilizando el método de sustitución.

2. ¿Qué es la resolución por sustitución?

2.1. Definición

La resolución por sustitución es un método algebraico utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en aislar una variable en una de las ecuaciones y luego sustituirla en la otra ecuación. De esta manera, obtenemos una nueva ecuación con una única variable, que podemos resolver para encontrar su valor. Luego, sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

2.2. Ventajas de la resolución por sustitución

La resolución por sustitución tiene varias ventajas. En primer lugar, es un método relativamente sencillo y fácil de entender. No requiere el uso de fórmulas complicadas o cálculos extensos. Además, es aplicable a una amplia variedad de sistemas de ecuaciones lineales, lo que lo hace muy versátil. Por último, la resolución por sustitución es especialmente útil cuando una de las ecuaciones ya está resuelta para una de las variables, lo que simplifica en gran medida el proceso.

3. Pasos para resolver por sustitución

3.1. Paso 1: Aislar una variable en una de las ecuaciones

En primer lugar, seleccionamos una de las ecuaciones y aislamos una de las variables en términos de la otra. Es decir, despejamos una de las variables para que quede sola en un lado de la ecuación.

3.2. Paso 2: Sustituir la variable en la otra ecuación

Una vez que tenemos una variable aislada en una de las ecuaciones, sustituimos su valor en la otra ecuación. Esto nos dará una nueva ecuación con una única variable.

3.3. Paso 3: Resolver la nueva ecuación resultante

Resolvemos la nueva ecuación resultante para encontrar el valor de la variable.

3.4. Paso 4: Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales

Sustituimos el valor encontrado en uno de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

4. Ejemplo práctico: Resolución de la ecuación 5x + 2y = 1, 3x + 3y = 5

Ahora vamos a aplicar los pasos anteriores para resolver el sistema de ecuaciones 5x + 2y = 1 y 3x + 3y = 5.

Ecuaciones con 2 variables: Ejercicios resueltos paso a paso

4.1. Paso 1: Aislar una variable en una de las ecuaciones

En este caso, seleccionaremos la primera ecuación para aislar la variable x. Despejamos x en términos de y:

5x = 1 - 2y
x = (1 - 2y) / 5

4.2. Paso 2: Sustituir la variable en la otra ecuación

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación:

3((1 - 2y) / 5) + 3y = 5

4.3. Paso 3: Resolver la nueva ecuación resultante

Resolvemos la ecuación resultante para encontrar el valor de y:

(3 - 6y) / 5 + 3y = 5

Simplificamos la ecuación:

3 - 6y + 15y = 25
9y = 22
y = 22/9

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4.4. Paso 4: Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

5x + 2(22/9) = 1

Simplificamos la ecuación:

5x + 44/9 = 1
5x = 1 - 44/9
5x = (9 - 44)/9
5x = -35/9
x = -7/9

4.5. Paso 5: Verificación de la solución

Finalmente, verificamos que nuestra solución sea correcta sustituyendo los valores de x y y en ambas ecuaciones originales:

Para la primera ecuación: 5(-7/9) + 2(22/9) = 1
Para la segunda ecuación: 3(-7/9) + 3(22/9) = 5

Si ambas ecuaciones se cumplen, entonces nuestra solución es correcta.

5. Conclusiones

La resolución por sustitución es una técnica eficaz y sencilla para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Nos permite encontrar los valores de las variables de manera sistemática y confiable. En el ejemplo que hemos visto, pudimos resolver el sistema de ecuaciones 5x + 2y = 1 y 3x + 3y = 5 utilizando este método. Es importante practicar y familiarizarse con esta técnica para poder aplicarla en diferentes situaciones.

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6. Referencias

- Stewart, J. (2007). Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning.

- Larson, R., & Edwards, B. H. (2009). Calculus. Cengage Learning.